В некоторых случаях, точное число при делении определенной суммы на конкретное число невозможно определить в принципе. Например, при делении 10 на 3, у нас получается 3,3333333333…..3, то есть, данное число невозможно использовать для подсчета конкретных предметов и в других ситуациях. Тогда данное число следует привести к определенному разряду, например, к целому числу или к числу с десятичным разрядом. Если мы приведем 3,3333333333…..3 к целому числу, то получим 3, а приводя 3,3333333333…..3 к числу с десятичным разрядом, получим 3,3.

Правила округления

Что такое округление? Это отбрасывание нескольких цифр, которые являются последними в ряду точного числа. Так, следуя нашему примеру, мы отбросили все последние цифры, чтобы получить целое число (3) и отбросили цифры, оставив только разряды десятков (3,3). Число можно округлять до сотых и тысячных, десятитысячных и прочих чисел. Все зависит от того, насколько точное число необходимо получить. Например, при изготовлении медицинских препаратов, количество каждого из ингредиентов лекарства берется с наибольшей точностью, поскольку даже тысячная грамма может привести к летальному исходу. Если же необходимо подсчитать, какая успеваемость учеников в школе, то чаще всего используется число с десятичным или с сотым разрядом.

Рассмотрим иной пример, в котором применяются правила округления. Например, имеется число 3,583333, которое необходимо округлить до тысячных - после округления, за запятой у нас должно остаться три цифры, то есть результатом станет число 3,583. Если же это число округлять до десятых, то у нас получится не 3,5, а 3,6, поскольку после «5» стоит цифра «8», которая приравнивается уже к «10» во время округления. Таким образом, следуя правилам округления чисел, необходимо знать, если цифры больше «5», то последняя цифра, которую необходимо сохранить, будет увеличена на 1. При наличии цифры, меньшей, чем «5», последняя сохраняемая цифра остается неизменной. Такие правила округления чисел применяются независимо от того, до целого числа или до десятков, сотых и т.д. необходимо округлить число.

В большинстве случаев, при необходимости округления числа, в котором последняя цифра «5», этот процесс выполняется неправильно. Но существует еще и такое правило округления, которое касается именно таких случаев. Рассмотрим на примере. Необходимо округлить число 3,25 до десятых. Применяя правила округления чисел, получим результат 3,2. То есть, если после «пяти» нет цифры или стоит ноль, то последняя цифра остается неизменной, но только при условии, что она является четной - в нашем случае «2» - это четная цифра. Если бы нам необходимо было выполнить округление 3,35, то результатом бы стало число 3,4. Поскольку, в соответствии с правилами округления, при наличии нечетной цифры перед «5», которую необходимо убрать, нечетная цифра увеличивается на 1. Но только при условии, что после «5» нет значащих цифр. Во многих случаях, могут применяться упрощенные правила, согласно которым, при наличии за последней сохраняемой цифрой значений цифр от 0 до 4, сохраняемая цифра не изменяется. При наличии других цифр, последняя цифра увеличивается на 1.

Округление мы часто используем в повседневной жизни. Если расстояние от дома до школы будет 503 метра. Мы можем сказать, округлив значение, что расстояние от дома до школы 500 метров. То есть мы приблизили число 503 к более легко воспринимающемуся числу 500. Например, булка хлеба весит 498 грамм, то можно сказать округлив результат, что булка хлеба весит 500 грамм.

Округление – это приближение числа к более “легкому” числу для восприятия человека.

В итоге округления получается приближенное число. Округление обозначается символом ≈, такой символ читается “приближённо равно”.

Можно записать 503≈500 или 498≈500.

Читается такая запись, как “пятьсот три приближенно равно пятистам” или “четыреста девяносто восемь приближенно равно пятистам”.

Разберем еще пример:

44 71≈4000 45 71≈5000

43 71≈4000 46 71≈5000

42 71≈4000 47 71≈5000

41 71≈4000 48 71≈5000

40 71≈4000 49 71≈5000

В данном примере было произведено округление чисел до разряда тысяч. Если посмотреть закономерность округления, то увидим, что в одном случае числа округляются в меньшую сторону, а в другом – в большую. После округления все остальные числа после разряда тысяч заменили на нули.

Правила округления чисел:

1) Если округляемая цифра равна 0, 1, 2, 3, 4, то цифра разряда до которого идет округление не меняется, а остальные числа заменяются нулями.

2) Если округляемая цифра равна 5, 6, 7, 8, 9, то цифра разряда до которого идет округление становиться на 1 больше, а остальные числа заменяются нулями.

Например:

1) Выполните округление до разряда десятков числа 364.

Разряд десятков в данном примере это число 6. После шестерки стоит число 4. По правилу округления цифра 4 разряд десятков не меняет. Записываем вместо 4 нуль. Получаем:

36 4 ≈360

2) Выполните округление до разряда сотен числа 4 781.

Разряд сотен в данном примере это число 7. После семерки стоит цифра 8, которая влияет на то измениться ли разряд сотен или нет. По правилу округления цифра 8 увеличивает разряд сотен на 1, а остальные цифры заменяем нулями. Получаем:

47 8 1≈48 00

3) Выполните округление до разряда тысяч числа 215 936.

Разряд тысяч в данном примере это число 5. После пятерки стоит цифра 9, которая влияет на то измениться ли разряд тысяч или нет. По правилу округления цифра 9 увеличивает разряд тысяч на 1, а остальные цифры заменяются нулями. Получаем:

215 9 36≈216 000

4) Выполните округление до разряда десятков тысяч числа 1 302 894.

Разряд тысяч в данном примере это число 0. После нуля стоит цифра 2, которая влияет на то измениться ли разряд десятков тысяч или нет. По правилу округления цифра 2 разряд десятков тысяч не меняет, заменяем на нуль этот разряд и все разряды младшие разряды. Получаем:

130 2 894≈130 0000

Если точное значение числа неважно, то значение числа округляют и можно выполнять вычислительные операции с приближенными значениями . Результат вычисления называют прикидкой результата действий .

Например: 598⋅23≈600⋅20≈12000 сравним с 598⋅23=13754

Прикидкой результата действий пользуются для того, чтобы быстро посчитать ответ.

Примеры на задания по теме округление:

Пример №1:
Определите до какого разряда сделано округление:
а) 3457987≈3500000 б)4573426≈4573000 в)16784≈17000
Вспомним какие бывают разряды на числе 3457987.

7 – разряд единиц,

8 – разряд десятков,

9 – разряд сотен,

7 – разряд тысяч,

5 – разряд десятков тысяч,

4 – разряд сотен тысяч,
3 – разряд миллионов.
Ответ: а) 3 4 57 987≈3 5 00 000 разряд сотен тысяч б) 4 573 426≈4 573 000 разряд тысяч в)16 7 841≈17 0 000 разряд десятков тысяч.

Пример №2:
Округлите число до разрядов 5 999 994: а) десятков б) сотен в) миллионов.
Ответ: а) 5 999 994 ≈5 999 990 б) 5 999 99 4≈6 000 000 (т.к. разряды сотен, тысяч, десятков тысяч, сотен тысяч цифра 9, каждый разряд увеличился на 1) 5 9 99 994≈6 000 000.

Настоящий стандарт СЭВ устанавливает правила записи и округления чисел, выраженных в десятичной системе счисления.

Правила записи и округления чисел, установленные в настоящем стандарте СЭВ, предназначены для применения в нормативно-технической, конструкторской и технологической документации.

Настоящий стандарт СЭВ не распространяется на специальные правила округления, установленные в других стандартах СЭВ.

1. ПРАВИЛА ЗАПИСИ ЧИСЕЛ

1.1. Значащие цифры данного числа - это все цифры от первой слева, не равной нулю, до последней записанной цифры справа. При этом нули, следующие из множителя 10n , не учитываются.

1.2. Когда необходимо указать, что число является точным, после числа должно быть указано слово «точно» или же последняя значащая цифра печатается жирным шрифтом

Пример. В печатном тексте:

1 кВт·ч = 3 600 000 Дж (точно), или = 3600000 Дж

1.3. Следует различать записи приближенных чисел по количеству значащих цифр.

Примеры:

1. Следует различать числа 2,4 и 2,40. Запись 2,4 означает, что верны только цифры целых и десятых; истинное значение числа может быть например 2,43 и 2,38. Запись 2,40 означает, что верны и сотые доли числа; истинное число может быть 2,403 и 2,398, но не 2,421 и не 2,382.

2. Запись 382 означает, что все цифры верны; если за последнюю цифру ручаться нельзя, то число должно быть записано 3,8·102.

3. Если в числе 4720 верны лишь две первые цифры оно должно быть записано 47·102 или 4,7·103.

1.4. Число, для которого указывается допускаемое отклонение, должно иметь последнюю значащую цифру того же разряда как и последняя значащая цифра отклонения.

Примеры:

1.5. Числовые значения величины и ее погрешности (отклонения) целесообразно записывать с указанием одной и той же единицы физических величин.

Пример. 80,555±0,002 кг

1.6. Интервалы между числовыми значениями величин следует записывать:

От 60 до 100 или от 60 до 100

Свыше 100 до 120 или свыше 100 до 120

Свыше 120 до 150 или свыше 120 до 150.

1.7. Числовые значения величин должны указываться в стандартах с одинаковым числом разрядов, которое необходимо для обеспечения требуемых эксплуатационных свойств и качества продукции. Запись числовых значений величин до первого, второго, третьего и т. д. десятичного знака для различных типоразмеров, видов марок продукции одного названия, как правило, должна быть одинаковой. Например, если градация толщины стальной горячекатаной ленты 0,25 мм, то весь ряд толщин ленты должен быть указан с точностью до второго десятичного знака.

В зависимости от технической характеристики и назначения продукции количество десятичных знаков числовых значений величин одного и того же параметра, размера, показателя или нормы может иметь несколько ступеней (групп) и должно быть одинаковым только внутри этой ступени (группы).

2. ПРАВИЛА ОКРУГЛЕНИЯ

2.1. Округление числа представляет собой отбрасывание значащих цифр справа до определенного разряда с возможным изменением цифры этого разряда.

Пример. Округление числа 132,48 до четырех значащих цифр будет 132,5.

2.2. В случае, если первая из отбрасываемых цифр (считая слева направо) меньше 5, то последняя сохраняемая цифра не меняется.

Пример. Округление числа 12,23 до трех значащих цифр дает 12,2.

2.3. В случае, если первая из отбрасываемых цифр (считая слева направо) равна 5, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

Пример. Округление числа 0,145 до двух значащих цифр дает 0,15.

Примечание. В тех случаях, когда следует учитывать результаты предыдущих округлений, следует поступать следующим образом:

1) если отбрасываемая цифра получилась в результате предыдущего округления в большую сторону, то последняя сохраняемая цифра сохраняется;

Пример. Округление до одной значащей цифры числа 0,15 (полученного после округления числа 0,149) дает 0,1.

2) если отбрасываемая цифра получилась в результате предыдущего округления в меньшую сторону, то последняя оставшаяся цифра увеличивается на единицу (с переходом при необходимости в следующие разряды).

Пример. Округление числа 0,25 (полученного в результате предыдущего округления числа 0,252) дает 0,3.

2.4. В случае, если первая из отбрасываемых цифр (считая слева направо) больше 5, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

Пример. Округление числа 0,156 до двух значащих цифр дает 0,16.

2.5. Округление следует выполнять сразу до желаемого количества значащих цифр, а не по этапам.

Пример. Округление числа 565,46 до трех значащих цифр производится непосредственно на 565. Округление по этапам привело бы к:

565,46 в I этапе - к 565,5,

а во II этапе - 566 (ошибочно).

2.6. Целые числа округляют по тем же правилам, как и дробные.

Пример. Округление числа 12 456 до двух значащих цифр дает 12·103.

Тема 01.693.04-75.

3. Стандарт СЭВ утвержден на 41-м заседании ПКС.

4. Сроки начала применения стандарта СЭВ:

Страны - члены СЭВ	Срок начала применения стандарта СЭВ в договорно-правовых отношениях по экономическому и научно-техническому сотрудничеству	Срок начала применения стандарта СЭВ в народном хозяйстве
	Декабрь 1979 г.	Декабрь 1979 г.
	Декабрь 1978 г.	Декабрь 1978 г.
	Декабрь 1978 г.	Декабрь 1978 г.
Республика Куба
	Декабрь 1979 г.	Декабрь 1979 г.
	Декабрь 1978 г.	Декабрь 1978 г.

5. Срок первой проверки - 1981 г., периодичность проверки - 5 лет.

Значащие цифры

Определение 1 .6 . Значащими цифрами в записи при­ближенного числа называются все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой слева.

Определение 1 .7 . Первые п верными в узком смысле , если абсолютная погрешность числа не превосхо­дит половины единицы разряда, соответствующего п- йзначащей цифре, считая слева направо.

Наряду с данным определением иногда используется другое.

Определение 1 .8 . Первые п значащих цифр в записи приближенного числа называются верными в широком смысле , если абсолютная погрешность числа не превосхо­дит единицы разряда, соответствующего n- йзначащей цифре.

Чтобы округлить число до п значащих цифр, отбрасы­вают все цифры, стоящие справа от n -й значащей цифры, или, если это нужно для сохранения разрядов, заменяют их нулями. При этом:

1) если первая отброшенная цифра меньше 5, то остав­шиеся десятичные знаки сохраняют без изменения;

2) если первая отброшенная цифра больше 5, то к пос­ледней оставшейся цифре прибавляют единицу;

3) если первая отброшенная цифра равна 5 и среди ос­тальных отброшенных цифр есть ненулевые, то к после­дней оставшейся цифре прибавляют единицу;

4) если первая из отброшенных цифр равна 5 и все от­брошенные цифры являются нулями, то последняя остав­шаяся цифра оставляется неизменной, если она четная, и увеличивается на единицу, если нет (правило четной цифры).

Это правило гарантирует, что сохраненные значащие цифры числа являются верными в узком смысле, т. е. погрешность округления не превосходит половины разряда, соответствующего последней оставленной значащей цифре. Правило четной цифры должно обеспечить ком­пенсацию знаков ошибок.

Следующая теорема выявляет связь относительной по­грешности числа с числом верных десятичных знаков.

Теорема 1 .1 . Если положительное приближенное чис­ло имеет п верных значащих цифр, то его относительная погрешность δ не превосходит величины 10 1 - n , деленной на первую значащую цифру а н :

δ ≤ 10 1 - n / а н . (1.11)

Формула (11) позволяет вычислить предельную от­носительную погрешность

δ a = 10 1 - n / а н . (1.12)

1 .6 . Погрешности арифметических операций

Приведем правила вычисления погрешности результа­та различных арифметических операций над приближен­ными числами.

Относительно алгебраической суммы u = х ± у можно утверждать следующее.

Теорема 1 .2 . Предельная абсолютная погрешность суммы приближенных чисел равна сумме предельных абсолютных погрешностей слагаемых, т. е.

Δ u = Δ x + Δ y . (1.13)

Из формулы (1.13) следует, что предельная абсолют­ная погрешность суммы не может быть меньше предель­ной абсолютной погрешности наименее точного из сла­гаемых , т. е. если в состав суммы входят приближенные слагаемые с разными абсолютными погрешностями, то сохранять лишние значащие цифры в более точных не имеет смысла.

Теорема 1 .3 . Если все слагаемые в сумме имеют один и тот же знак, то предельная относительная погрешность суммы не превышает наибольшей из предельных относи­тельных погрешностей слагаемых:

δ u ≤ . (1.14)

При вычислении разности двух приближенных чисел и = х - у её абсолютная погрешность, согласно теоре­ме 2, равна сумме абсолютных погрешностей уменьша­емого и вычитаемого, т. е. Δ u = Δ x + Δ y , а предельная относительная погрешность

δ u = .(1.15)

Из формулы (1.15) следует, что если приближенные значения х и у близки, то предельная относительная по­грешность будет очень большой.

В некоторых случаях удается избежать вычисления разности близких чисел с помощью преобразования выра­жения так, чтобы разность была исключена.

Если представляется сложным заменить вычитание близких приближенных чисел сложением, то следует поступать так: если известно, что при вычитании долж­но пропасть m первых значащих цифр, а в результате требуется сохранить п верных цифр, тогда в уменьшае­мом и вычитаемом следует сохранять m + п верных зна­чащих цифр .

Теорема 1 .4 . Предельная относительная погрешность произведения и = х× у приближенных чисел, отличных от пуля, равна сумме предельных относительных погрешно­стей сомножителей, т. е.

δ u = δ x + δ y . (1.16)

В частности, если и = kx, где k – точное число, имеем Δ u = |k| Δ x , δ и = δ х.

Теорема 1 .5 . Предельная относительная погрешность частного равна сумме предельных относительных по­грешностей делимого и делителя.

НП «СРОО «Экспертный совет» публикует очередные методические рекомендации. Документ доступен в формате word и pdf (с подписями и печатями).

Выражаем благодарность коллегам, принявшим участие в обсуждении проблематики округления.

Другие методические материалы Партнерства доступны по ссылке.

МЕТОДИЧЕСКИЕ РАЗЪЯСНЕНИЯ

по вопросу округления итоговой величины стоимости объекта оценки

1. Пунктом 14 Федерального стандарта оценки «Требования к отчету об оценке (ФСО № 3)», утвержденного приказом Минэкономразвития России от 20.05.2015 г. № 299, установлено, что «итоговая величина стоимости может быть представлена в виде конкретного числа с округлением по математическим правилам округления …». Таким образом, Оценщик самостоятельно принимает решение о целесообразности округления итоговой величины стоимости объекта оценки.

2. Партнерство считает целесообразным округлять итоговую величину стоимости объекта оценки по следующим основным причинам:

• статьей 3 Федерального закона «Об оценочной деятельности в Российской Федерации» от 29.07.1998 г. № 135-ФЗ установлено, что рыночная стоимость является наиболее вероятной ценой сделки — имеет вероятностный характер ;
• сложившиеся правила делового оборота на рынке показывают, что и цены предложения, и цены продажи в абсолютном большинстве случаев тяготеют к округленным значениям;
• любой результат расчета стоимости характеризуется погрешностью, величина которой определяется влиянием погрешности исходных данных; погрешности методов расчета; субъективной погрешностью, вносимой Оценщиком ;
• указание итоговой величины стоимости объекта оценки без округления способно ввести в заблуждение пользователя соответствующего отчета об оценке относительно точности результатов оценки.

3. Решение об уровне округления (до какого знака округлять) следует принимать на основе анализа границ интервала, в котором лежит рыночная стоимость объекта оценки. Уровень округления следует выбирать так, чтобы погрешность, вносимая округлением, была меньше погрешности, вносимой прочими факторами.

В большинстве ситуаций итоговую величину рыночной стоимости рекомендуется округлять «к ближайшему целому» до трех значащих цифр (127 329 ® 127 000, см. п. 7). В этом случае максимальная погрешность, вносимая округлением, составит 0,5% от величины до округления.

4. Применительно к оценке акций, а также иных эмиссионных ценных бумаг, конвертируемых в акции публичного общества, в случаях обязательного предложения о приобретении акций у остальных акционеров целесообразно учитывать соответствующую судебную практику, в которой отражена позиция о порядке округления до целого числа .

5. Необходимость округления итоговой величины стоимости объекта оценки, а также уровень округления могут быть закреплены в задании на оценку, являющимся приложением к договору на оказание услуг по оценке.

6. Справочно. Наибольшее распространение получило округление по правилу «к ближайшему целому»:

• если N+1 цифра в округляемом числе < 5, то N-ую цифру сохраняют, а N+1 и все последующие — обнуляют (154 ® 150);
• если N+1 цифра в округляемом числе ≥ 5, то N-ую цифру увеличивают на единицу, а N+1 и все последующие — обнуляют (155 ® 160).

Список источников:

1. Определение Верховного Суда Российской Федерации от 22.12.2015 г. № 310-ЭС15-11302 по делу А09-6803/2014.
2. Ильин М.О., Лебединский В.И. Практические рекомендации по определению возможных границ интервала итоговой стоимости
3. Постановление ФАС Московского округа от 04.05.2012 г. по делу № А40-81355/11-21-698.