Формулы первообразных функций таблица. Первообразная функции и общий вид. Интегралы от трансцендентных функций

Ниже перечислены четыре основных метода интегрирования.

1) Правило интегрирования суммы или разности.
.
Здесь и далее u, v, w - функции от переменной интегрирования x .

2) Вынесение постоянной за знак интеграла.
Пусть c - постоянная, не зависящая от x . Тогда ее можно вынести за знак интеграла.

3) Метод замены переменной.
Рассмотрим неопределенный интеграл .
Если удастся подобрать такую функцию φ(x) от x , так что
,
то, выполнив замену переменной t = φ(x) , имеем
.

4) Формула интегрирования по частям.
,
где u и v - это функции от переменной интегрирования.

Конечная цель вычисления неопределенных интегралов - это, путем преобразований, привести заданный интеграл к простейшим интегралам, которые называются табличными. Табличные интегралы выражаются через элементарные функции по известным формулам.
См. Таблица интегралов >>>

Пример

Вычислить неопределенный интеграл

Решение

Замечаем, что подынтегральная функция является суммой и разностью трех членов:
, и .
Применяем метод 1 .

Далее замечаем, что подынтегральные функции новых интегралов умножены на постоянные 5, 4, и 2 , соответственно. Применяем метод 2 .

В таблице интегралов находим формулу
.
Полагая n = 2 , находим первый интеграл.

Перепишем второй интеграл в виде
.
Замечаем, что . Тогда

Применяем третий метод. Делаем замену переменной t = φ(x) = ln x .
.
В таблице интегралов находим формулу

Поскольку переменная интегрирования может обозначаться любой буквой, то

Перепишем третий интеграл в виде
.
Применяем формулу интегрирования по частям.
Положим .
Тогда
;
;

;
;
.

Окончательно имеем
.
Соберем члены с x 3 .
.

Ответ

Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Таблица первообразных

Используя свойства неопределенных интегралов и таблицу основных интегралов,
можно интегрировать некоторые функции.

ПРИЁМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
Метод подстановки

Наиболее общим приёмом интегрирования функций является метод
подстановки, который применяется тогда, когда искомый интеграл
является табличным, но путем ряда элементарных преобразований он может быть
сведен к табличному.

переменную.т заменяют переменной / по формуле х=φ(t) и,
следовательно, dx произведением φ"(t)dt.

Интегрирование по частям

Пример: необходимо найти интеграл

Здесь в двойные вертикальные линии заключены все вычисления, которые
являются подготовительными для применения формулы интегрирования по
частям. Подготовительные записи могут быть вынесены за пределы уравнения.

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Задача. Найти приращение функции, первообразной для функции f(x), при
переходе аргумента х от значения а к значению b.
Решение. Положим, что интегрированием найдено

Как видим, в выражении приращения первообразной функции F(x) + С 1
отсутствует постоянная величина С 1 . А так как под С 1 подразумевалось любое
данное число, то полученный результат приводит к следующему заключению: при
переходе аргумента х от значения х=а к значению х=b все функции F(x) + С,
первообразные для данной функции f(x), имеют одно и то же приращение, равное
F(b)-F(a).

Это приращение принято называть определенным интегралом и обозначать
символом

Таким образом, искомый интеграл равен 6.

Геометрический смысл определенного интеграла

1. Найти площадь одной арки синусоиды.

Тело вращения изображено на рисунке.
В качестве плоскости я выберем плоскость ху.

Пример №2. Нахождение определенного интеграла методом замены переменной
интегрирования

Пример №3. Нахождение определенного интеграла методом интегрирования по
частям.

Соотношения между массой m и плотностью р:

Соотношения между электрическим зарядом q и силой тока I:

Соотношения между теплоёмкостью с и количеством теплоты Q:

Описание движения вязкой жидкости, крови по сосудам, распределения
давления крови в сердечнососудистой системе, тепловых, электрических,
магнитных, оптических процессов, связанных с жизнедеятельностью
организма, требует применение интегрирования.

ТРЕНИНГ: РЕШЕНИЕ ПРИМЕРОВ

точки меняется по закону v = (6t +7) м/с

Определить, как зависит от времени пройденный путь, если скорость материальной
точки меняется по закону v = (6t +7)м/с, если известно, что в начальный момент

времени (t=0), материальная точка находилась на расстоянии s 0 = 4м от начала

Найти работу, совершаемую пружиной при её удлинении от x 1 до х 2 .
Решение.

Чтобы проинтегрировать данную функцию, необходимо сделать замену
переменной

Гак как 4-х 2 ≤2-х на отрезке [-1;2], то площадь S данной фигуры вычисляется
следующим образом:

Решение.
u = sinx
du = cosxdx

новые пределы интегрирования: u 1 = 0 (т.к. x 1 = 0, подставим это значение в новую
функцию - u = sinx, u 1 = sinx 1 = 0)

возникновении в нем индукционного тока,

ответ:

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Дифференциальные уравнения - это уравнения, содержащие искомые
функции, их производные различных порядков и независимые переменные.
Теория дифференциальных уравнений возникла в конце 17 века под
влиянием потребностей механики и других естественнонаучных дисциплин,
по существу одновременно с интегральным исчислением и
дифференциальным исчислением.

Простейшие дифференциальные уравнения встречались уже в работах И.
Ньютона и Г. Лейбница; термин "дифференциальные уравнения"
принадлежит Лейбницу. Задачу нахождения неопределённого интеграла F (х)
функции f(x) Ньютон рассматривал просто как частный случай его второй
задачи. Такой подход был для Ньютона, как создателя основ
математического естествознания вполне оправданным: в очень большом
числе случаев законы природы, управляющие теми или иными процессами,
выражаются в форме дифференциальных уравнений, а расчёт течения этих
процессов сводится к решению дифференциальных уравнений.

Следующие два простых примера могут служить иллюстрацией к
сказанному.

1) Если тело, нагретое до температуры Т, помещено в среду, температура
которой равна нулю, то при известных условиях можно считать, что
приращение ΔТ(отрицательное в случае Т> 0) его температуры за малый
промежуток времени Δt с достаточной точностью выражается формулой

где k - постоянный коэффициент. При математической обработке этой
физической задачи считают, что выполняется точно соответствующее
предельное соотношение между дифференциалами

т. е. имеет место дифференциальное уравнение

где Т обозначает производную no t.

растяжения пружины, приводят груз в
движение. Если х (t) обозначает
величину отклонения тела от
положения равновесия в момент
времени t, то ускорение тела
выражается 2-й производной х" (t).
Сила тх" (t), действующая на тело,
при небольших растяжениях пружины
по законам теории упругости пропорциональна отклонению х (t). Т. о.,
получается дифференциальное уравнение

Его решение имеет вид:

В более раннем материале был рассмотрен вопрос нахождения производной и были показаны её различные применения: вычисление углового коэффициента касательной к графику, решение задач на оптимизацию, исследование функций на монотонность и экстремумы. $\newcommand{\tg}{\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits}$ $\newcommand{\ctg}{\mathop{\mathrm{ctg}}\nolimits}$ $\newcommand{\arctg}{\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits}$ $\newcommand{\arcctg}{\mathop{\mathrm{arcctg}}\nolimits}$

Рисунок 1.

Так же была рассмотрена задача нахождения мгновенной скорости $v(t)$ с помощью производной по заранее известному пройденному пути, выражаемому функцией $s(t)$.

Рисунок 2.

Очень часто встречается и обратная задача, когда нужно найти путь $s(t)$, пройденный точкой за время $t$, зная скорость движения точки $v(t)$. Если вспомнить, мгновенная скорость $v(t)$ находится, как производная от функции пути $s(t)$: $v(t)=s’(t)$. Значит, чтобы решить обратную задачу, то есть вычислить путь, нужно найти функцию, производная которой будет равна функции скорости. Но мы-то знаем, что производная пути и есть скорость, то есть: $s’(t) = v(t)$. Скорость равна произведению ускорения на время: $v=at$. Нетрудно определить, что искомая функция пути будет иметь вид: $s(t) = \frac{at^2}{2}$. Но это не совсем полное решение. Полное решение будет иметь вид: $s(t)= \frac{at^2}{2}+C$, где $C$ – некоторая константа. Почему именно так, будет рассказано далее. А пока проверим правильность найденного решения: $s"(t)=\left(\frac{at^2}{2}+C\right)"=2\frac{at}{2}+0=at=v(t)$.

Стоит заметить, что нахождение пути по скорости является физическим смыслом первообразной.

Полученная функция $s(t)$ называется первообразной функции $v(t)$. Довольно интересное и необычное название, не правда ли. В нём кроется большой смысл, который объясняет суть данного понятия и ведёт к его пониманию. Можно заметить, что в нём заключены два слова «первый» и «образ». Они говорят сами за себя. То есть это та функция, которая является исходной для имеющейся у нас производной. А мы по этой производной ищем ту функцию, которая была в начале, была «первой», «первым образом», то есть первообразную. Её иногда также называют примитивной функцией или антипроизводной.

Как нам уже известно, процесс нахождения производной называется дифференцированием. А процесс нахождения первообразной называется интегрированием. Операция интегрирования является обратной для операции дифференцирования. Верно и обратное утверждение.

Определение. Первообразной для функции $f(x)$ на некотором интервале называется такая функция $F(x)$, производная которой равна этой функции $f(x)$ для всех $x$ из указанного интервала: $F’(x)=f(x)$.

У кого-то может возникнуть вопрос: откуда в определении взялись $F(x)$ и $f(x)$, если изначально речь шла о $s(t)$ и $v(t)$. Дело в том, что $s(t)$ и $v(t)$ – частные случаи обозначения функций, имеющие в данном случае конкретный смысл, то есть это функция времени и функция скорости соответственно. То же самое и с переменной $t$ – она обозначает время. А $f$ и $x$ – традиционный вариант общего обозначения функции и переменной соответственно. Стоит обратить особое внимание на обозначение первообразной $F(x)$. Во-первых, $F$ – заглавная. Первообразные обозначаются заглавными буквами. Во-вторых, буквы совпадают: $F$ и $f$. То есть, для функции $g(x)$ первообразная будет обозначаться $G(x)$, для $z(x)$ – $Z(x)$. Вне зависимости от обозначений правила нахождения первообразной функции всегда одинаковы.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Доказать, что функция $F(x)=\frac{1}{5}\sin5x$ является первообразной функции $f(x)=\cos5x$.

Для доказательства воспользуемся определением, а точнее тем фактом, что $F’(x)=f(x)$, и найдём производную функции $F(x)$: $F’(x)=(\frac{1}{5} \sin5x)’=\frac{1}{5}\cdot 5\cos5x= \cos5x$. Значит $F(x)=\frac{1}{5} \sin5x$ является первообразной $f(x)=\cos5x$. Что и требовалось доказать.

Пример 2. Найти, каким функциям соответствуют следующие первообразные: а) $F(z)=\tg z$; б) $G(l) = \sin l$.

Чтобы найти искомые функции, вычислим их производные:
а) $F’(z)=(\tg z)’=\frac{1}{\cos^2 z}$;
б) $G(l) = (\sin l)’ = \cos l$.

Пример 3. Какой будет первообразная для $f(x)=0$?
Воспользуемся определением. Подумаем, какая функция может иметь производную, равную $0$. Вспоминая таблицу производных, получаем, что любая постоянная будет иметь такую производную. Получаем, что искомая нами первообразная: $F(x)= C$.

Полученное решение можно объяснить геометрически и физически. Геометрически оно означает, что касательная к графику $y=F(x)$ горизонтальна в каждой точке этого графика и, значит, совпадает с осью $Ox$. Физически объясняется тем, что точка, имеющая скорость, равную нулю, остаётся на месте, то есть пройденный ею путь неизменен. Исходя из этого можно сформулировать следующую теорему.

Теорема. (Признак постоянства функций ). Если на некотором промежутке $F’(x) = 0$, то функция $F(x)$ на этом промежутке постоянна.

Пример 4. Определить, первообразными каких функций являются функции а) $F_1 = \frac{x^7}{7}$; б) $F_2 = \frac{x^7}{7} – 3$; в) $F_3 = \frac{x^7}{7} + 9$; г) $F_4 = \frac{x^7}{7} + a$, где $a$ – некоторое число.
Используя определение первообразной, делаем вывод, что для решения этого задания нам нужно вычислить производные данных нам первообразных функций. При вычислении помним о том, что производная постоянной, то есть любого числа, равна нулю.
а) $F_1 =(\frac{x^7}{7})"= 7 \cdot \frac{x^6}{7} = x^6$;
б) $F_2 =\left(\frac{x^7}{7} – 3\right)"=7 \cdot \frac{x^6}{7}= x^6$;
в) $F_3 =(\frac{x^7}{7} + 9)’= x^6$;
г) $F_4 =(\frac{x^7}{7} + a)’ = x^6$.

Что мы видим? Несколько разных функций являются первообразными одной и той же функции. Это говорит о том, что у любой функции существует бесконечно много первообразных, и они имеют вид $F(x) + C$, где $C$ – произвольная константа. То есть операция интегрирования является многозначной в отличие от операции дифференцирования. Сформулируем на основании этого теорему, описывающую основное свойство первообразных.

Теорема. (Основное свойство первообразных ). Пусть функции $F_1$ и $F_2$ являются первообразными функции $f(x)$ на некотором промежутке. Тогда для всех значений из этого промежутка справедливо следующее равенство: $F_2=F_1+C$, где $C$ – некоторая константа.

Факт наличия бесконечного множества первообразных можно интерпретировать геометрически. С помощью параллельного переноса вдоль оси $Oy$ можно получить друг из друга графики двух любых первообразных для $f(x)$. В этом заключается геометрический смысл первообразной.

Очень важно обратить внимание на то, что выбором константы $C$ можно добиться прохождения графика первообразной через определённую точку.

Рисунок 3.

Пример 5. Найти первообразную для функции $f(x)=\frac{x^2}{3}+1$, график которой проходит через точку $(3; 1)$.
Найдём сначала все первообразные для $f(x)$: $F(x)=\frac{x^3}{9}+x + C$.
Далее найдём такое число C, при котором график $y=\frac{x^3}{9}+x + C$ будет проходит через точку $(3; 1)$. Для этого подставим координаты точки в уравнение графика и решим его относительно $C$:
$1= \frac{3^3}{9}+3 + C$, $C=-5$.
Получили график $y=\frac{x^3}{9}+x-5$, который соответствует первообразной $F(x)=\frac{x^3}{9}+x-5$.

Таблица первообразных

Таблицу формул для нахождения первообразных можно составить, используя формулы нахождения производных.

Таблица первобразных

Функции	Первообразные
$0$	$C$
$1$	$x+C$
$a\in R$	$ax+C$
$x^n, n\ne1$	$\displaystyle \frac{x^{n+1}}{n+1}+C$
$\displaystyle \frac{1}{x}$	$\ln\|x\|+C$
$\sin x$	$-\cos x+C$
$\cos x$	$\sin x+C$
$\displaystyle \frac{1}{\sin^2 x}$	$-\ctg x+C$
$\displaystyle \frac{1}{\cos^2 x}$	$\tg x+C$
$e^x$	$e^x+C$
$a^x, a>0, a\ne1$	$\displaystyle \frac{a^x}{\ln a} +C$
$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$\arcsin x+C$
$\displaystyle -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$\arccos x+C$
$\displaystyle \frac{1}{1+x^2}$	$\arctg x+C$
$\displaystyle -\frac{1}{1+x^2}$	$\arcctg x+C$

Проверить правильность составления таблицы можно следующим образом: для каждого множества первообразных, находящегося в правом столбце найти производную, в результате чего получатся соответствующие функции, стоящие в левом столбце.

Некоторые правила нахождения первообразных

Как известно, многие функции имеют более сложный вид, нежели указанные в таблице первообразных, и могут представлять собой любое произвольное сочетание сумм и произведений функций из этой таблицы. И тут возникает вопрос, как вычислять первообразные подобных функций. К примеру, из таблицы мы знаем, как вычислить первообразные $x^3$, $\sin x$ и $10$. А как, например, вычислить первообразную $x^3-10\sin x$? Забегая вперёд, стоит отметить, что она будет равна $\frac{x^4}{4}+10\cos x$.
1. Если $F(x)$ первообразная для $f(x)$, $G(x)$ – для $g(x)$, то для $f(x)+g(x)$ первообразная будет равна $F(x)+G(x)$.
2. Если $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ и $a$ – константа, то для $af(x)$ первообразной будет $aF(x)$.
3. Если для $f(x)$ первообразной является $F(x)$, $a$ и $b$ – константы, то $\frac{1}{a} F(ax+b)$ первообразная для $f(ax+b)$.
Используя полученные правила мы можем расширить таблицу первообразных.

Функции	Первообразные
$(ax+b)^n, n\ne1, a\ne0$	$\displaystyle \frac{(ax+b)^n}{a(n+1)} +C$
$\displaystyle \frac{1}{ax+b}, a\ne0$	$\displaystyle \frac{1}{a}\ln\|ax+b\|+C$
$e^{ax+b}, a\ne0$	$\displaystyle \frac{1}{a} e^{ax+b}+C$
$\sin(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle -\frac{1}{a}\cos(ax+b)+C$
$\cos(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle \frac{1}{a}\sin(ax+b)+C$

Пример 5. Найти первообразные для:

а) $\displaystyle 4x^3+10x^7$;

б) $\displaystyle \frac{6}{x^5} -\frac{2}{x}$;

в) $\displaystyle 5\cos x+\sin(3x+15)$;

г) $\displaystyle \sqrt{x}-2\sqrt{x}$.

а) $4\frac {x^{3+1}}{3+1}+10\frac{x^{7+1}}{7+1}+C=x^4+\frac{5}{4} x^8+C$;

б) $-\frac{3}{2x^4} -2\ln|x|+C$;

в) $5 \sin x - \frac{1}{3}\cos(3x + 15) + C$;

г) $\frac{2}{3}x\sqrt{x} - \frac{3}{2} x\sqrt{x} + C$.

Первообразная

Определение первообразной функции

Функцию у= F (x) называют первообразной для функции у=f (x) на заданном промежутке Х, если для всех х ∈ Х выполняется равенство: F′(x) = f (x)

Можно прочесть двумя способами:

f производная функции F
F первообразная для функции f

Свойство первообразных

Если F(x) - первообразная для функции f(x) на заданном промежутке, то функция f(x) имеет бесконечно много первообразных, и все эти первообразные можно записать в виде F(x) + С , где С - произвольная постоянная.

Геометрическая интерпретация

Графики всех первообразных данной функции f (x) получаются из графика какой-либо одной первообразной параллельными переносами вдоль оси Оу .

Правила вычисления первообразных

Первообразная суммы равна сумме первообразных . Если F(x) - первообразная для f(x) , а G(x) - первообразная для g(x) , то F(x) + G(x) - первообразная для f(x) + g(x) .
Постоянный множитель можно выносить за знак производной . Если F(x) - первообразная для f(x) , и k - постоянная, то k·F(x) - первообразная для k·f(x) .
Если F(x) - первообразная для f(x) , и k, b - постоянные, причём k ≠ 0 , то 1/k · F(kx + b) - первообразная для f(kx + b) .

Запомни!

Любая функция F(x) = х 2 + С , где С - произвольная постоянная, и только такая функция, является первообразной для функции f(x) = 2х .

Например:
F"(x) = (х 2 + 1)" = 2x = f(x);

f(x) = 2х, т.к. F"(x) = (х 2 – 1)" = 2x = f(x);

f(x) = 2х, т.к. F"(x) = (х 2 –3)" = 2x = f(x);

Связь между графиками функции и ее первообразной:

Если график функции f(x)>0 F(x) возрастает на этом промежутке.
Если график функции f(x)<0 на промежутке, то график ее первообразной F(x) убывает на этом промежутке.
Если f(x)=0 , то график ее первообразной F(x) в этой точке меняется с возрастающего на убывающий (или наоборот).

Для обозначения первообразной используют знак неопределённого интеграла, то есть интеграла без указания пределов интегрирования.

Неопределенный интеграл

Определение :

Неопределённым интегралом от функции f(x) называется выражение F(x) + С, то есть совокупность всех первообразных данной функции f(x). Обозначается неопределённый интеграл так: \int f(x) dx = F(x) + C

f(x) - называют подынтегральной функцией;
f(x) dx - называют подынтегральным выражением;
x - называют переменной интегрирования;
F(x) - одна из первообразных функции f(x);
С - произвольная постоянная.

Свойства неопределённого интеграла

Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции: (\int f(x) dx)\prime= f(x) .
Постоянный множитель подынтегрального выражения можно выносить за знак интеграла: \int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx .
Интеграл от суммы (разности) функций равен сумме (разности) интегралов от этих функций:\int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx .
Если k, b - постоянные, причём k ≠ 0, то \int f(kx + b) dx = \frac{1}{k} \cdot F(kx + b) + C .

Таблица первообразных и неопределенных интегралов

Функция f(x)	Первообразная F(x) + C	Неопределенные интегралы \int f(x) dx = F(x) + C
0	C	\int 0 dx = C
f(x) = k	F(x) = kx + C	\int kdx = kx + C
f(x) = x^m, m\not =-1	F(x) = \frac{x^{m+1}}{m+1} + C	\int x{^m}dx = \frac{x^{m+1}}{m+1} + C
f(x) = \frac{1}{x}	F(x) = l n \lvert x \rvert + C	\int \frac{dx}{x} = l n \lvert x \rvert + C
f(x) = e^x	F(x) = e^x + C	\int e{^x }dx = e^x + C
f(x) = a^x	F(x) = \frac{a^x}{l na} + C	\int a{^x }dx = \frac{a^x}{l na} + C
f(x) = \sin x	F(x) = -\cos x + C	\int \sin x dx = -\cos x + C
f(x) = \cos x	F(x) =\sin x + C	\int \cos x dx = \sin x + C
f(x) = \frac{1}{\sin {^2} x}	F(x) = -\ctg x + C	\int \frac {dx}{\sin {^2} x} = -\ctg x + C
f(x) = \frac{1}{\cos {^2} x}	F(x) = \tg x + C	\int \frac{dx}{\sin {^2} x} = \tg x + C
f(x) = \sqrt{x}	F(x) =\frac{2x \sqrt{x}}{3} + C
f(x) =\frac{1}{ \sqrt{x}}	F(x) =2\sqrt{x} + C
f(x) =\frac{1}{ \sqrt{1-x^2}}	F(x)=\arcsin x + C	\int \frac{dx}{ \sqrt{1-x^2}}=\arcsin x + C
f(x) =\frac{1}{ \sqrt{1+x^2}}	F(x)=\arctg x + C	\int \frac{dx}{ \sqrt{1+x^2}}=\arctg x + C
f(x)=\frac{1}{ \sqrt{a^2-x^2}}	F(x)=\arcsin \frac {x}{a}+ C	\int \frac{dx}{ \sqrt{a^2-x^2}} =\arcsin \frac {x}{a}+ C
f(x)=\frac{1}{ \sqrt{a^2+x^2}}	F(x)=\arctg \frac {x}{a}+ C	\int \frac{dx}{ \sqrt{a^2+x^2}} = \frac {1}{a} \arctg \frac {x}{a}+ C
f(x) =\frac{1}{ 1+x^2}	F(x)=\arctg + C	\int \frac{dx}{ 1+x^2}=\arctg + C
f(x)=\frac{1}{ \sqrt{x^2-a^2}} (a \not= 0)	F(x)=\frac{1}{2a}l n \lvert \frac {x-a}{x+a} \rvert + C	\int \frac{dx}{ \sqrt{x^2-a^2}}=\frac{1}{2a}l n \lvert \frac {x-a}{x+a} \rvert + C
f(x)=\tg x	F(x)= - l n \lvert \cos x \rvert + C	\int \tg x dx =- l n \lvert \cos x \rvert + C
f(x)=\ctg x	F(x)= l n \lvert \sin x \rvert + C	\int \ctg x dx = l n \lvert \sin x \rvert + C
f(x)=\frac{1}{\sin x}	F(x)= l n \lvert \tg \frac{x}{2} \rvert + C	\int \frac {dx}{\sin x} = l n \lvert \tg \frac{x}{2} \rvert + C
f(x)=\frac{1}{\cos x}	F(x)= l n \lvert \tg (\frac{x}{2} +\frac{\pi}{4}) \rvert + C	\int \frac {dx}{\cos x} = l n \lvert \tg (\frac{x}{2} +\frac{\pi}{4}) \rvert + C

Формула Ньютона–Лейбница

Пусть f (х) данная функция, F её произвольная первообразная.

\int_{a}^{b} f(x) dx =F(x)|_{a}^{b} = F(b) - F(a)

где F(x) - первообразная для f(x)

То есть, интеграл функции f (x) на интервале равен разности первообразных в точках b и a .

Площадь криволинейной трапеции

Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком неотрицательной и непрерывной на отрезке функции f , осью Ox и прямыми x = a и x = b .

Площадь криволинейной трапеции находят по формуле Ньютона-Лейбница:

S= \int_{a}^{b} f(x) dx